Problema de Monty Hall

O problema de Monty Hall, também conhecido por paradoxo de Monty Hall é um problema matemático e paradoxo que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos chamado Let's Make a Deal, exibido na década de 1970.

O jogo consistia no seguinte: Monty Hall, o apresentador, apresentava três portas aos concorrentes. Atrás de uma delas estava um prêmio (um carro) e, atrás das outras duas, dois bodes.

1. Na 1.ª etapa o concorrente escolhe uma das três portas (que ainda não é aberta);
2. Na 2.ª etapa, Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, revelando que o carro não se encontra nessa porta e revelando um dos bodes;
3. Na 3.ª etapa Monty pergunta ao concorrente se quer decidir permanecer com a porta que escolheu no início do jogo ou se ele pretende mudar para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir. Agora, com duas portas apenas para escolher - pois uma delas já se viu, na 2.ª etapa, que não tinha o prêmio - e sabendo que o carro está atrás de uma das restantes duas, o concorrente tem que tomar a decisão.

Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Por quê?

Na realidade não é assim tão indiferente mudar ou ficar na mesma porta. No início, quando se escolheu uma das portas, havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão nenhuma aparente para essa probabilidade mudar após o Monty Hall ter aberto uma das portas que não era premiada. As outras duas portas não escolhidas tinham em conjunto 2/3 de probabilidade de ocultarem o carro, e quando uma dessas portas é aberta (por não ter prêmio) a porta não escolhida que continua fechada passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a porta do carro.

A confusão é feita seguindo o raciocínio que parece mais lógico: "mas a porta escolhida também continua fechada... então cada uma das portas fechadas passa a ter 1/2 de chance de ter o carro?".

Índice

• 1O problema
• 2A resposta intuitiva, porém errada
• 3A solução
• 4Simulação em computador
  • 4.1Bibliografia
• 5Ver também

O problema

Este pequeno problema é muito mais difícil do que parece, e tornou-se famoso nos EUA como o problema de Monty Hall, devido ao apresentador que possuía um quadro bem similar (ou o contrário seria mais apropriado) em seu programa popular 'Let's Make a Deal' ['Vamos fazer um trato'] nos anos 70, algo como os diversos programas de auditório que ficaram famosos no Brasil com o apresentador Silvio Santos.

A resposta intuitiva, porém errada

A resposta intuitiva ao problema é a que quando o apresentador revelou uma das portas não-premiadas, o concorrente passaria a ter à frente um novo dilema, com apenas duas portas e um prêmio, portanto as chances do prêmio estar em qualquer uma das duas portas passaria a ser de 50%. O apresentador teria ajudado o concorrente, já que as chances para acertar subiram de 33,33% para 50%, no entanto não faria diferença trocar ou não de porta, uma vez que ambas teriam as mesmas chances em 50% de possuírem o prêmio. No entanto, esta análise intuitiva é errada, pois a porta que o apresentador abre depende da porta que o concorrente escolheu inicialmente. O apresentador sabe desde o começo onde está o prêmio e assim ele nunca abrirá uma porta premiada. Ao abrir uma porta não premiada, ele não está criando um jogo novo, mas está dando informações valiosas ao concorrente sobre a localização do prêmio definida no jogo inicial. É por isso que a resposta é tão contra-intuitiva: parece-nos que o apresentador abriu uma porta aleatoriamente, mas isso está longe da verdade. Como se observa, se o concorrente tiver escolhido inicialmente uma porta não-premiada (as chances de isto acontecer são maiores do que acertar logo à primeira na porta premiada), o apresentador não tem liberdade de escolha e só pode abrir a porta não premiada que lhe resta, obrigando-o a continuar mantendo fechada a única porta premiada.

A solução

A resposta correta e contra-intuitiva é que é vantajoso trocar. Na verdade, é mais provável estatísticamente ganhar o prêmio se trocar de porta do que se não o fizer, pois a probabilidade em acertar na premiada passa para o dobro, de 33,33% para 66,66%.

Existem três portas - A, B e C. Quando o concorrente escolheu uma delas, digamos a A, a chance de que ela seja a premiada é de 1/3. Como consequência, a probabilidade de que tenha errado, ou em outras palavras, de que o prêmio esteja nas outras duas portas B ou C é de 2/3. Pode-se comprovar isso somando a probabilidade de cada uma das outras portas ou simplesmente sabendo que a probabilidade de que haja um prêmio é sempre 1. O importante é ter em mente que a chance de o prêmio estar nas outras portas que você não escolheu é de 2/3.

Entendendo isso, basta ver que o apresentador abrirá sem erro uma dessas outras duas portas que contém um prémio mau, digamos que seja a B. Ao fazer isso, ele está lhe dando uma informação valiosa: se o prêmio estava nas outras portas que não escolheu (B ou C), então agora ele só pode estar na porta que você não escolheu e não foi aberta, ou seja, a porta C. Ou seja, se o concorrente errou ao escolher uma porta - e as chances disto são de 2/3 - então ao abrir uma das outras portas não-premiadas o apresentador está lhe dizendo onde está o prêmio. Toda vez que o concorrente tiver escolhido inicialmente uma porta errada, ao trocar de porta irá com mais probabilidade ganhar. Como as chances de que tenha errado em sua escolha inicial são de 2/3, se trocar suas chances de ganhar serão de 2/3 - e por conseguinte a chance de que ganhe se não trocar de porta é de apenas 1/3. É assim mais vantajoso trocar sempre de porta.

A análise pode ser ilustrada em termos da chances de probabilidades iguais que o jogador inicialmente escolheu o carro, bode A, ou bode B (Economist 1999):

1. Apresentador revela
um dos bodesJogador escolhe carro
(probabilidade 1/3) Trocar perde.
2. Apresentador tem que
revelar Bode BJogador escolhe Bode A
(probabilidade 1/3) Trocar ganha.
3. Apresentador tem que
revelar Bode AJogador escolhe Bode B
(probabilidade 1/3) Trocar ganha.
O jogador tem uma chance igual de inicialmente selecionar o carro, Bode A, ou Bode B. A troca resulta em uma vitória 2/3 das vezes.

O problema de Monty Hall é exposto em muitos cursos de probabilidades e de estatística, e um exercício com ele seria dado em Harvard e Princeton. Ele demonstra muito bem como nosso cérebro não foi feito para lidar intuitivamente com tais tipos específicos de problemas. Felizmente pode-se resolver o problema de Monty Hall no papel de forma simples e sem erro usando o teorema de Bayes relativo às probabilidades condicionadas.

Simulação em computador

Um programa de computador pode ser usado para demonstrar como a troca de porta em geral é mais vantajosa. O programa simula vários jogos, onde o jogador sempre estará trocando de porta. Em cada jogo é gerada uma escolha aleatória para o jogador, sendo que em algumas dessas simulações o carro sempre estará na primeira porta, em outras o carro está em posição aleatória. Uma das portas é então aberta e o jogador realiza a troca. As vitórias são computadas toda vez que a troca resultar na porta que contém o carro. Usando boa aleatoriedade e executando o jogo um considerável número de vezes, podemos verificar que a taxa de acerto fica em torno de 2/3 ou 66,67%.

Programa de simulação escrito em C

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <time.h> int main() { int i, stime, np, n1, n2, n3, ganha1, perca1, ganha2, perca2; long ltime; char ch; ltime = time(NULL); stime = (unsigned int) ltime / 2; //inicialização do gerador de números aleatórios srand(stime); //inicialização dos contadores ganha1 = 0; perca1 = 0; ganha2 = 0; perca2 = 0; for (i = 0; i < 1000000; i++) { // escolha da porta com prêmio 0, 1 ou 2 np = (int) floor(3.0 * ((double) rand()) / RAND_MAX); // escolha da porta 0, 1 ou 2 n1 = (int) floor(3 * ((double) rand()) / RAND_MAX); // escolha do apresentador 0, 1 ou 2 do { n2 = (int) floor(3 * ((double) rand()) / RAND_MAX); } // porta não pode ter sido escolhida, nem ter o prêmio while ((n2 == n1) || (n2 == np)); // ficar com a escolha inicial if (n1 == np) ganha1++; else perca1++; // trocar de porta if ((n1 != 0) && (n2 != 0)) { // trocar para a primeira porta if (np == 0) ganha2++; else perca2++; n3 = 0; } else if ((n1 != 1) && (n2 != 1)) { // trocar para a segunda porta if (np == 1) ganha2++; else perca2++; n3 = 1; } else { // trocar para a terceira porta if (np == 2) ganha2++; else perca2++; n3 = 2; } // impressão dos resultados // ficar e ganhar = ganha1 ficar e perder = perca1 // trocar e ganhar = ganha2 trocar e perder = perca2 printf("%d %d %d %d %d %d %d %d\n", np, n1, n2, n3, ganha1, perca1, ganha2, perca2); } ch = getchar(); // pausa return 0; }

Bibliografia

• Edward R. Scheinerman (2003). Matemática Discreta - Uma Introdução 1 ed. Brasil: Cengage Learning. 532 páginas. ISBN 85-221-0291-0

Ver também

• Marilyn vos Savant

[Esconder]

• v
• d
• e

Tópicos em Teoria dos Jogos
Definições

• Forma normal
• Forma extensiva
• Jogo gráfico
• Jogo cooperativo
• Jogo sucinto
• Conjunto de informação
• Hierarquia de opiniões
• Preferência

Conceitos de equilíbrio

• Equilíbrio de Nash
• Subgame perfection
• Mertens-stable equilibrium
• Bayesian-Nash
• Perfect Bayesian
• Trembling hand
• Proper equilibrium
• Epsilon-equilibrium
• Correlated equilibrium
• Sequential equilibrium
• Quasi-perfect equilibrium
• Estratégia evolucionariamente estável
• Risk dominance
• Core
• Shapley value
• Eficiência à Pareto
• Quantal response equilibrium
• Self-confirming equilibrium
• Strong Nash equilibrium
• Markov perfect equilibrium

Estratégias

• Strategic dominance
• Olho por olho
• Grim trigger
• Conluio
• Backward induction
• Forward induction
• Markov strategy

Classes de jogos

• Symmetric game
• Informação perfeita
• Simultaneous game
• Sequential game
• Repeated game
• Signaling game
• Cheap talk
• Soma-zero
• Mechanism design
• Bargaining problem
• Stochastic game
• Poisson games
• Nontransitive game
• Global game

Jogos

• Dilema do prisioneiro
• Dilema do prisioneiro opcional
• Traveler's dilemma
• Coordination game
• Jogo da galinha
• Centipede game
• Volunteer's dilemma
• Dollar auction
• Battle of the sexes
• Stag hunt
• Matching pennies
• Jogo do ultimato
• Pedra, papel e tesoura
• Pirate game
• Dictator game
• Public goods game
• Blotto games
• War of attrition
• El Farol Bar problem
• Cake cutting
• Modelo de Cournot
• Deadlock
• Diner's dilemma
• Guess 2/3 of the average
• Kuhn poker
• Bargaining problem
• Screening game
• Prisoners and hats puzzle
• Princess and monster game
• Problema de Monty Hall

Teoremas

• Teorema minimax
• Teorema de Nash
• Purification theorem
• Folk theorem
• Revelation principle
• Teorema da impossibilidade de Arrow

Pessoas

• Albert William Tucker
• Ariel Rubinstein
• Daniel Kahneman
• David Knudsen Levine
• Donald Bruce Gillies
• Drew Fudenberg
• Eric Maskin
• Harold William Kuhn
• Herbert Simon
• Jean-François Mertens
• Jean Tirole
• John Harsanyi
• John Forbes Nash
• John Maynard Smith
• John von Neumann
• Kenneth Arrow
• Kenneth Binmore
• Leonid Hurwicz
• Lloyd Shapley
• Melvin Dresher
• Merrill Meeks Flood
• Oskar Morgenstern
• Paul Milgrom
• Peyton Young
• Reinhard Selten
• Robert Aumann
• Robert B. Wilson
• Roger Myerson
• Samuel Bowles
• Thomas Schelling
• William Vickrey

Ver também

• Tragédia dos comuns
• Tirania das pequenas decisões
• All-pay auction
• List of games in game theory
• Confrontation analysis
• List of game theorists
• Teoria combinatória dos jogos

Categorias:

• Problemas matemáticos
• Paradoxos