Paradoxo do aniversário

Em teoria das probabilidades, o paradoxo do aniversário afirma que dado um grupo de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão a mesma data de aniversário é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%, entretanto, ela não pode ser exatamente 100% exceto que se tenha pelo menos 367 pessoas. Calcular essa probabilidade (e as relacionadas a ela) é o problema do aniversário. A matemática por trás disso tem sido utilizada para executar o ataque do aniversário.

O problema foi apresentado pela primeira vez pelo matemático polonês Richard von Mises.

Índice

• 1Calculando a probabilidade
  • 1.1Implementação em Python
  • 1.2Implementação no R
  • 1.3Implementação em Javascript
• 2Aproximações
  • 2.1Aproximação de Poisson
• 3Ver também
• 4Referências
• 5Notas e referências
• 6Ligações externas

Calculando a probabilidade

Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com n pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniformes uma vez que as datas não são equiprováveis.[1]

É mais fácil calcular a probabilidade p(n) de que todos os n aniversários sejam diferentes. Se n > 365, pelo princípio da casa dos pombos esta probabilidade é 0. Por outro lado, se n ≤ 365, ele é dado por

{\displaystyle {\bar {p}}(n)=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)={365\cdot 364\cdots (365-n+1) \over 365^{n}}={365! \over 365^{n}(365-n)!}}

porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.

O evento de pelo menos duas pessoas entre n terem o mesmo aniversário é o complementar de todos n serem diferentes. Consequentemente, sua probabilidade p(n) é

{\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n).}

Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para n = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de n (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):

n p(n)
10 12%
20 41%
23 50.7%
30 70%
50 97%
100 99.99996%
200 99.9999999999999999999999999998%
300 (1 − 7×10−73) × 100%
350 (1 − 3×10−131) × 100%
367 100%

Implementação em Python

def birthday(n): p = (1.0/365)**n for i in range((366-n),366): p *= i return 1-p

Implementação no R

birthday <- function(n) { return(p <- 1 - choose(365, 365 - n) * factorial(n) / 365 ^ n) }

Implementação em Javascript

function birthday (n) { let p = (1.0 / 365)**n for(let i = (366 - n); i < 366; i++) { p *= i } return 1 - p }

Aproximações

Utilizando a expansão da série de Taylor para a função exponencial

{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots }Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1 − exp(−n2/(2⋅365)).

a primeira expressão derivada para p(n) pode ser aproximado a

{\displaystyle {\bar {p}}(n)\approx 1\cdot e^{-1/365}\cdot e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}}{\displaystyle =1\cdot e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}}{\displaystyle =e^{-(n(n-1))/2\cdot 365}}

Então,

{\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n)\approx 1-e^{-(n(n-1))/2\cdot 365}}

Uma outra aproximação grosso modo é dada por

{\displaystyle p(n)\approx 1-e^{-n^{2}/{2\cdot 365}},\,}

que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão.

Aproximação de Poisson

Utilizando a aproximação de Poisson para a binomial,

{\displaystyle \mathrm {Poi} \left({\frac {C(23,2)}{365}}\right)\approx \mathrm {Poi} \left({\frac {253}{365}}\right)\approx \mathrm {Poi} (0.6932)}0)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-0.6932}=1-0.499998=0.500002.}">{\displaystyle \Pr(X>0)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-0.6932}=1-0.499998=0.500002.}0)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-0.6932}=1-0.499998=0.500002.}">

Novamente, ela é maior que 50%.

Ver também

• Problema do colecionador de cupons

Referências

• Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", American Mathematical Monthly 45 (1938), pages 348-352
• M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", Journal of Combinatorial Theory 3 (1967), pages 279-282.
• D. Bloom: "A birthday problem", American Mathematical Monthly 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.

Notas e referências

1. ↑ Em particular, muitas crianças nascem no verão, especialmente nos meses de Julho, Agosto e Setembro (para o hemisfério norte) [1]; ainda assim, em ambientes como salas de aula onde muitas pessoas partilham a mesma data de aniversário, isso torna-se relevante devido a maneira em que o hospital trabalha, onde partos induzidos ou realizados por cesarianas geralmente não são marcados nos finais de semana, mais crianças nascem na segunda e terça-feira do que nos finais de semana. Ambos fatores tendem a ampliar as chances de aniversários idênticos, visto que um subconjunto mais denso possuem mais pares possíveis

Ligações externas

• Um experimento online demonstrando o paradoxo do aniversário do utilizadores
• Solução completa para a para 2, 3, e uma generalização para n aniversários coincidentes
• The Birthday Paradox
• https://planetmath.org/encyclopedia/BirthdayProblem.html Em falta ou vazio |título= (ajuda)
• Eric W. Weisstein, Birthday Problem no MathWorld
• Maple vs. paradoxo do aniversário
• Probability by Surprise Birthday Applet An animation for simulating the birthday paradox.
• A humorous article explaining the paradox
• The Birthday Problem Spreadsheet